Mitten in ihrem eben begonnenen Siegeszug türmten sich vor der Mengenlehre neue, scheinbar unüberwindliche Schwierigkeiten auf. In ihr wurden nämlich Antinomien, d. h. logische Widersprüche, entdeckt. Ein logischer Widerspruch in einer mathematischen Theorie hat katastrophale Folgen: Läßt man unter den Sätzen einer Theorie eine Aussage A und ihre Negation zu, so ist in dieser Theorie jede Aussage beweisbar. Durch die Entdeckung der Antinomien schien, wie Fraenkel zwei Jahrzehnte danach schrieb, "der Siegesflug des Unendlichgroßen … durch einen jähen Absturz beendet." [143, p. 210].